4 Percolation

4.1 Bond Percolation

Posible motivación: Imagina que un vértice de una malla entera $d$-dimensional está ocupado por una persona y que dos vecinos son amigos con una probabilidad fija $p$, independientemente. Si una enfermedad solamente puede contagiarse entre amigos, ¿Cuál es la probabilidad de que la infección introducida en el origen resulte en una epidemia (que una cantidad infinita de personas se contagie)?

Definition 4.1 (Bond Percolation) Para cada arista $e$ que conecta dos vecinos, sea \[ \xi(e) \sim Bernoulli(p), \text{independiente} \]

La arista $e$ están abiertas si $\xi(e) = 1$ y está cerrada si $\xi(e) = 0$.

Escribimos $x \leftrightarrow$ cuando existe un camino abierto que conecta $x$ e $y$.

Definition 4.2 (Cluster abierto en rl vértice $x$) \[ C_x = \{y\in\mathbb{Z}^d \;:\; x \leftrightarrow\} \].

Definition 4.3 (Probabilidad de percolación) \[ \theta(p) = P_p(|C_0| = \infty) \].

Lemma 4.1 $\theta$ es no decreciente

Lemma 4.2 ((Hammersley)) En $\mathbb{Z}^d$, si $p\mu(\mathbb{Z}^d) < 1$, entonces $\theta(p) = 0$, donde $\mu(\mathbb{Z}^d)$ es la constante de conectividad.

Lemma 4.3 ((Peierls)) En $\mathbb{Z}^d$, $d \ge 2$, si $(1-p)\mu(\mathbb{Z}^2) < 1$, entonces $\theta(p) \ge 0$

Lemma 4.4 Para cada $d \ge 2$, existe $p_c(\mathbb{Z}^d) \in ]0,1[$ tal que

$\theta(p) = 0$ si $p < p_c(\mathbb{Z}^d)$
$\theta(p) > 0$ si $p > p_c(\mathbb{Z}^d)$

3 Variables Aleatorias